Để chứng minh rằng các hàm f(x) + g(x) và f(x) * g(x) là những hàm tuần hoàn khi T1/T2 là số hữu tỉ, ta cần chứng minh rằng chúng có chu kỳ giống nhau.

Giả sử T1/T2 = p/q, trong đó p và q là hai số nguyên không âm và q ≠ 0.

Ta có:
- Với hàm f(x) + g(x):
- Chu kỳ của f(x) là T1.
- Chu kỳ của g(x) là T2.
- Chu kỳ của f(x) + g(x) là bội số chung nhỏ nhất của T1 và T2, ký hiệu là BCNN(T1, T2).
- Theo định nghĩa, BCNN(T1, T2) = (T1 * T2) / UCLN(T1, T2), trong đó UCLN(T1, T2) là ước số chung lớn nhất của T1 và T2.
- Vì T1/T2 là số hữu tỉ, nên UCLN(T1, T2) = 1.
- Do đó, BCNN(T1, T2) = T1 * T2.
- Vậy, chu kỳ của f(x) + g(x) là T1 * T2, tức là f(x) + g(x) là hàm tuần hoàn.

- Với hàm f(x) * g(x):
- Chu kỳ của f(x) là T1.
- Chu kỳ của g(x) là T2.
- Chu kỳ của f(x) * g(x) là bội số chung nhỏ nhất của T1 và T2, ký hiệu là BCNN(T1, T2).
- Theo định nghĩa, BCNN(T1, T2) = (T1 * T2) / UCLN(T1, T2), trong đó UCLN(T1, T2) là ước số chung lớn nhất của T1 và T2.
- Vì T1/T2 là số hữu tỉ, nên UCLN(T1, T2) = 1.
- Do đó, BCNN(T1, T2) = T1 * T2.
- Vậy, chu kỳ của f(x) * g(x) cũng là T1 * T2, tức là f(x) * g(x) là hàm tuần hoàn.

Vậy, ta đã chứng minh rằng nếu T1/T2 là số hữu tỉ, thì các hàm f(x) + g(x) và f(x) * g(x) là những hàm tuần hoàn.