a, Ta có:
- AB = 3 cm, AC = 4 cm.
- Tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB² + AC² = BC²
3² + 4² = BC²
9 + 16 = BC²
25 = BC²
BC = √25 = 5 cm

Vì AH là đường cao nên AH² + BH² = AB²
AH² + BH² = 3²
AH² + BH² = 9
Vì AH = BH nên ta có:
2AH² = 9
AH² = 9/2
AH = √(9/2) = 3√2/2 cm

Vì AH là đường cao nên AH² + CH² = AC²
AH² + CH² = 4²
AH² + CH² = 16
Vì AH = CH nên ta có:
2AH² = 16
AH² = 16/2
AH = √(16/2) = 4 cm

Vậy BH = CH = 3√2/2 cm, AH = 4 cm, BC = 5 cm.

b, Ta có:
- HB = 16 cm, HC = 9 cm.
- Tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB² + AC² = BC²
AB² + (AB - HC)² = HB²
AB² + (AB - 9)² = 16²
AB² + AB² - 18AB + 81 = 256
2AB² - 18AB + 175 = 0
Giải phương trình ta được AB = 7 cm hoặc AB = 25/2 cm (loại)

Vì HB = BH nên ta có:
2AH² = HB²
2AH² = 16
AH² = 8
AH = √8 = 2√2 cm

Vì AH là đường cao nên AH² + CH² = AC²
AH² + CH² = 4²
2√2² + CH² = 16
8 + CH² = 16
CH² = 8
CH = √8 = 2√2 cm

Vậy AB = 7 cm, AC = 4 cm, BC = √(7² + 4²) = √65 cm, BH = 2√2 cm, CH = 2√2 cm.

c, Ta có:
- AH = 60 cm, CH = 144 cm.
- Tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB² + AC² = BC²
AB² + (AB - CH)² = AH²
AB² + (AB - 144)² = 60²
AB² + AB² - 288AB + 144² = 3600
2AB² - 288AB + 144² - 3600 = 0
Giải phương trình ta được AB = 24 cm hoặc AB = 120 cm (loại)

Vì AH = BH nên ta có:
2AH² = BH²
2AH² = 144
AH² = 72
AH = √72 = 6√2 cm

Vì AH là đường cao nên AH² + CH² = AC²
6√2² + CH² = 144²
72 + CH² = 20736
CH² = 20664
CH = √20664 = 144√2 cm

Vậy AB = 24 cm, AC = √(24² + 144√2²) = √(576 + 20736) = √21312 cm, BC = √(24² + (144√2 - 144√2)²) = √576 = 24 cm, BH = 6√2 cm, CH = 144√2 cm.

d, Ta có:
- AC = 12 cm, H = 60/13 cm.
- Tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB² + AC² = BC²
AB² + (AB - H)² = AC²
AB² + (AB - 60/13)² = 12²
AB² + AB² - 2(AB)(60/13) + (60/13)² = 144
2AB² - 2(AB)(60/13) + (60/13)² - 144 = 0
Giải phương trình ta được AB = 15 cm hoặc AB = 60/13 cm (loại)

Vì AH = BH nên ta có:
2AH² = BH²
2(60/13)² = BH²
7200/169 = BH²
BH = √(7200/169) cm

Vì AH là đường cao nên AH² + CH² = AC²
(60/13)² + CH² = 12²
3600/169 + CH² = 144
CH² = 144 - 3600/169
CH = √(144 - 3600/169) cm

Vậy AB = 15 cm, BC = √(15² + (60/13)²) cm, BH = √(7200/169) cm, CH = √(144 - 3600/169) cm.

e, Ta có:
- AB/AC = 5/6, BC = 122 cm.
- Tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB² + AC² = BC²
(5x)² + (6x)² = 122²
25x² + 36x² = 14884
61x² = 14884
x² = 14884/61
x = √(14884/61) cm

Vì AH = BH nên ta có:
2AH² = BH²
2(6x)² = BH²
72x² = BH²
BH = √(72x²) cm

Vì AH là đường cao nên AH² + CH² = AC²
(6x)² + CH² = (6x)²
CH² = 0
CH = 0 cm

Vậy AB = 5x cm, AC = 6x cm, BH = √(72x²) cm, CH = 0 cm.