A) Ta có tam giác ABC vuông tại A và tam giác HEB vuông tại H (do EH vuông góc với BC). Ta cần chứng minh rằng hai tam giác này bằng nhau.

Ta có:
- Góc AEB = 180° - góc BAE - góc ABE = 180° - góc BAE - (180° - góc EBA) = góc BAE + góc EBA.
- Góc AHE = 180° - góc HAE - góc AEH = 180° - góc HAE - (180° - góc EAH) = góc HAE + góc EAH.

Vì góc AEB = góc AHE và góc BAE + góc EBA = góc HAE + góc EAH, nên tam giác ABC = tam giác HEB (theo góc).

B) Ta cần chứng minh rằng BE là đường trung trực của AH.

Vì tam giác ABC vuông tại A và tam giác HEB vuông tại H, nên AH vuông góc với BC và EH vuông góc với BC.

Vì EH vuông góc với BC, nên EH là đường trung trực của BC.

Vì AH vuông góc với BC và EH là đường trung trực của BC, nên AH cũng vuông góc với EH.

Vì AH vuông góc với EH, nên BE là đường trung trực của AH (do đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng đó và đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó).

C) Ta có:
- Góc EKH = góc EHB + góc BHK (góc ngoài của tam giác EHB)
- Góc HEK = góc HEB + góc BEH (góc ngoài của tam giác HEB)

Vì tam giác ABC = tam giác HEB (theo câu A), nên góc EHB = góc BAC và góc HEB = góc BCA.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90° - góc ABC.

Vì tam giác HEB vuông tại H, nên góc BCA = 90° - góc HBE.

Vậy góc EHB = 90° - góc ABC và góc HEB = 90° - góc HBE.

Vậy góc EKH = (90° - góc ABC) + (90° - góc HBE) = 180° - góc ABC - góc HBE.

Vì góc ABC + góc HBE = 90° (do tam giác ABC vuông tại A), nên góc EKH = 180° - 90° = 90°.

Vậy EK vuông góc với KH.

Vì EH vuông góc với BC và KH vuông góc với BC, nên EH // KH.

Vậy EK // EH.

Vậy EK = EH (do hai đường thẳng song song cắt một đường thẳng thì các đoạn thẳng tạo thành bởi chúng có độ dài bằng nhau).