Giả sử hai số tự nhiên liên tiếp là n và n+1. Ta có:

n + (n+1) = 2n + 1

Để chứng minh rằng tổng này không chia hết cho 2, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích trường hợp:

Trường hợp 1: n là số chẵn
Nếu n là số chẵn, thì n có thể được biểu diễn dưới dạng n = 2k, với k là một số tự nhiên. Thay n = 2k vào công thức trên, ta có:

2n + 1 = 2(2k) + 1 = 4k + 1

Vì 4k là số chẵn, nên 4k + 1 là số lẻ. Do đó, tổng 2n + 1 không chia hết cho 2.

Trường hợp 2: n là số lẻ
Nếu n là số lẻ, thì n có thể được biểu diễn dưới dạng n = 2k + 1, với k là một số tự nhiên. Thay n = 2k + 1 vào công thức trên, ta có:

2n + 1 = 2(2k + 1) + 1 = 4k + 2 + 1 = 4k + 3

Vì 4k là số chẵn, nên 4k + 3 là số lẻ. Do đó, tổng 2n + 1 không chia hết cho 2.

Từ cả hai trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng tổng của hai số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 2.