Chứng tỏ rằng

a) Ta có:
12¹⁹⁸⁰ - 2¹⁶⁰⁰ = (10 + 2)¹⁹⁸⁰ - 2¹⁶⁰⁰
= 10k + 2¹⁹⁸⁰ - 2¹⁶⁰⁰ (với k là một số nguyên)
= 10k + (2¹⁶⁰⁰ * 2³⁸⁰ - 2¹⁶⁰⁰)
= 10k + 2¹⁶⁰⁰ * (2³⁸⁰ - 1)

Ta biết rằng 2³⁸⁰ - 1 chia hết cho 10, vì 2³⁸⁰ - 1 = (2¹⁹⁰)² - 1 = (2¹⁹⁰ - 1)(2¹⁹⁰ + 1), và 2¹⁹⁰ - 1 chia hết cho 10.

Vậy (12¹⁹⁸⁰ - 2¹⁶⁰⁰) chia hết cho 10.

b) Ta có:
19²⁰⁰⁵ + 11²⁰⁰⁶ = (10 + 9)²⁰⁰⁵ + (10 + 1)²⁰⁰⁶
= 10k + 9²⁰⁰⁵ + 10k + 1²⁰⁰⁶ (với k là một số nguyên)
= 10k + (9²⁰⁰⁵ + 1²⁰⁰⁶)

Ta biết rằng 9²⁰⁰⁵ + 1²⁰⁰⁶ chia hết cho 10, vì 9²⁰⁰⁵ + 1²⁰⁰⁶ = (10 - 1)²⁰⁰⁵ + (10 + 1)²⁰⁰⁶ = (10 - 1)²⁰⁰⁵ + (10 - 1)²⁰⁰⁶, và (10 - 1)²⁰⁰⁵ + (10 - 1)²⁰⁰⁶ chia hết cho 10.

Vậy (19²⁰⁰⁵ + 11²⁰⁰⁶) chia hết cho 10.

Để chứng minh rằng S chia hết cho 3, ta sẽ sử dụng định lý cộng modulo.

Ta có: S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰
= 2(1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹)
= 2(2¹⁰⁰ - 1)

Ta biết rằng 2¹⁰⁰ - 1 chia hết cho 3, vì 2¹⁰⁰ - 1 = (2²⁵)⁴ - 1 = (2²⁵ - 1)(2⁵⁰ + 2⁵⁰ - 1), và 2²⁵ - 1 chia hết cho 3.

Vậy S chia hết cho 3.