a) Ta có A là trung điểm của IK và B là trung điểm của MN, suy ra AB // IK và AB // MN.
Gọi H là giao điểm của IK và MN.
Ta có AH // IB (do AB // IK) và AH = 2IB (do A là trung điểm của IK).
Tương tự, ta có BH // NA (do AB // MN) và BH = 2NA (do B là trung điểm của MN).
Vậy ta có AH = 2IB = BH = 2NA.
Do đó, ta có AHB là hình bình hành.
Gọi G là giao điểm của AB và IH.
Ta có AG // IH (do AB // IK) và AG = 2IH (do A là trung điểm của IK).
Tương tự, ta có BG // IH (do AB // MN) và BG = 2IH (do B là trung điểm của MN).
Vậy ta có AG = 2IH = BG.
Do đó, ta có AGBF là hình bình hành.
Vậy AEBF là hình bình hành.

b) Ta có AEBF là hình bình hành, suy ra AB // EF.
Gọi P là giao điểm của IM và KN.
Ta có IP // AB (do AB // IK) và IP = 2AB (do I là trung điểm của IK).
Tương tự, ta có KP // AB (do AB // MN) và KP = 2AB (do K là trung điểm của MN).
Vậy ta có IP = 2AB = KP.
Do đó, ta có IPKP là hình bình hành.
Gọi Q là giao điểm của AB và EF.
Ta có AQ // AB (do AB // IK) và AQ = 2AB (do A là trung điểm của IK).
Tương tự, ta có BQ // AB (do AB // MN) và BQ = 2AB (do B là trung điểm của MN).
Vậy ta có AQ = 2AB = BQ.
Do đó, ta có AQBQ là hình bình hành.
Vậy ta có IPKP và AQBQ là hình bình hành.
Suy ra, IM, KN, AB, EF đồng quy.