Cho tam giác MNP cân tại N, nội tiếp đường tròn (O) có đường kính AB. M l điểm nằm bên ngoài đường tròn sao cho MA,MB cắt nửa đường tròn tại K. Chứng minh NK là đường kính (O)

Ta có tam giác MNP cân tại N, nên ta có NP = MP.

Gọi I là giao điểm của MA và NB.

Ta có:
- Góc MIA = Góc MNB (cùng là góc nửa đường tròn chắn cùng cung MB)
- Góc NIA = Góc NMA (cùng là góc nửa đường tròn chắn cùng cung MA)

Vậy tam giác MIA và tam giác MNB đồng dạng (có 2 góc bằng nhau), nên ta có:
MA/MB = MI/MN

Tương tự, ta có tam giác MIB và tam giác MNA đồng dạng, nên ta có:
MB/MA = MI/MN

Từ hai phương trình trên, ta có:
MA/MB = MB/MA
MA^2 = MB^2
MA = MB

Vậy ta có tam giác MIA và tam giác MIB đồng dạng (có 2 cạnh bằng nhau), nên góc MIA = góc MIB.

Gọi K' là giao điểm của NK và đường tròn (O).

Ta có:
- Góc MIA = góc MIB (vừa chứng minh được)
- Góc MIA = góc MKA (cùng là góc nửa đường tròn chắn cùng cung MA)
- Góc MIB = góc MLB (cùng là góc nửa đường tròn chắn cùng cung MB)

Vậy tam giác MKA và tam giác MLB đồng dạng (có 2 góc bằng nhau), nên ta có:
MA/MK = MB/ML

Tương tự, ta có tam giác MNA và tam giác MNB đồng dạng, nên ta có:
MA/MK = MB/ML

Từ hai phương trình trên, ta có:
MA/MK = MB/ML
MA^2 = MB^2
MA = MB

Vậy ta có tam giác MKA và tam giác MLB đồng dạng (có 2 cạnh bằng nhau), nên góc MKA = góc MLB.

Vậy ta có:
góc MIA = góc MIB = góc MKA = góc MLB

Vậy ta có 4 góc bằng nhau, nên tam giác MKA và tam giác MLB đồng dạng (có 3 góc bằng nhau), nên ta có:
MK/MA = ML/MB

Từ đó, ta có:
MK/MA = ML/MB
MK^2 = ML^2
MK = ML

Vậy ta có NK = MK = ML, nên NK là đường kính của đường tròn (O).