Vẽ tam giác HBK vuông tại H có HM là đường cao. Vẽ HD là đường phân giác của tam giác HBK và BI⊥ HD tại I

Để chứng minh BM.BK=2BI^2, ta sẽ sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông HBK.

Vẽ tam giác HBK vuông tại H, với HM là đường cao. Vẽ HD là đường phân giác của tam giác HBK và BI ⊥ HD tại I.

Ta cần chứng minh rằng BM.BK=2BI^2.

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh tam giác HBM đồng dạng với tam giác HKB.

Vì HM là đường cao của tam giác HBK, nên ta có:
∠HBM = ∠HKB (góc giữa đường cao và cạnh huyền)
∠HMB = ∠HKM (góc giữa đường cao và cạnh góc vuông)

Do đó, tam giác HBM đồng dạng với tam giác HKB theo góc.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh tam giác HBI đồng dạng với tam giác HKD.

Vì BI ⊥ HD, nên ta có:
∠HBI = ∠HDK (góc vuông)
∠HIB = ∠HKD (góc giữa đường cao và cạnh góc vuông)

Do đó, tam giác HBI đồng dạng với tam giác HKD theo góc.

Từ đồng dạng của tam giác HBM và tam giác HKB, ta có:
BM/BI = BK/BH (định lý đồng dạng tam giác)

Từ đồng dạng của tam giác HBI và tam giác HKD, ta có:
BI/BD = BH/DK (định lý đồng dạng tam giác)

Từ hai phương trình trên, ta có:
BM/BI = BK/BH = BH/DK

Từ đó, ta có:
BM.BK = BI.BH = BH.DK

Vì BI ⊥ HD, nên ta có:
BH.DK = 2BI^2 (hệ thức lượng)

Do đó, ta đã chứng minh được rằng BM.BK=2BI^2.