Để tìm số tự nhiên N thỏa mãn hai điều kiện trên, ta sẽ sử dụng phương pháp thử và sai.

a. Ta có điều kiện N+3 chia hết cho N. Điều này có nghĩa là N+3 là bội số của N. Ta có thể viết N+3 = kN, với k là một số tự nhiên.

Suy ra, N = 3/(k-1).

Vì N là số tự nhiên, nên k-1 phải là một ước số của 3. Ta có các trường hợp sau:

- Khi k-1 = 1, ta có k = 2 và N = 3/1 = 3.
- Khi k-1 = 3, ta có k = 4 và N = 3/3 = 1.

Vậy, có hai giá trị của N thỏa mãn điều kiện a: N = 1 và N = 3.

b. Ta có điều kiện (N+10) chia hết cho (N+1). Điều này có nghĩa là N+10 là bội số của N+1. Ta có thể viết N+10 = k(N+1), với k là một số tự nhiên.

Suy ra, N = 10/(k-1) - 1.

Vì N là số tự nhiên, nên k-1 phải là một ước số của 10. Ta có các trường hợp sau:

- Khi k-1 = 1, ta có k = 2 và N = 10/(2-1) - 1 = 9.
- Khi k-1 = 2, ta có k = 3 và N = 10/(3-1) - 1 = 4.
- Khi k-1 = 5, ta có k = 6 và N = 10/(6-1) - 1 = 1.

Vậy, có ba giá trị của N thỏa mãn điều kiện b: N = 1, N = 4 và N = 9.

Tổng kết lại, số tự nhiên N thỏa mãn cả hai điều kiện a và b là N = 1 và N = 3.