Để giải tam giác ABD, ta sử dụng định lý Pythagoras và các định lý về góc trong tam giác vuông.

Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB và CD.

Ta có:
- Góc A và góc D là góc vuông.
- AB < DC.
- Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O.

Vì góc A và góc D là góc vuông, nên tam giác ABD là tam giác vuông tại A và D.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABD, ta có:
AB^2 + AD^2 = BD^2
9^2 + 12^2 = BD^2
81 + 144 = BD^2
225 = BD^2
BD = √225
BD = 15 cm

Vì hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O, nên tam giác AOB và tam giác BOC là tam giác vuông.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOB, ta có:
AB^2 + AO^2 = OB^2
9^2 + AO^2 = OB^2
81 + AO^2 = OB^2

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BOC, ta có:
BC^2 + OC^2 = OB^2
BC^2 + OC^2 = OB^2
BC^2 + OC^2 = 15^2
BC^2 + OC^2 = 225

Vì hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O, nên tam giác AOC và tam giác BOD là tam giác vuông.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOC, ta có:
AC^2 + AO^2 = OC^2
AC^2 + AO^2 = OC^2
AC^2 + AO^2 = OC^2

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BOD, ta có:
BD^2 + OD^2 = OB^2
15^2 + OD^2 = OB^2
225 + OD^2 = OB^2

Từ các phương trình trên, ta có hệ phương trình:
81 + AO^2 = OB^2
BC^2 + OC^2 = 225
AC^2 + AO^2 = OC^2
225 + OD^2 = OB^2

Từ đó, ta có thể giải hệ phương trình để tìm các giá trị của AO, BC, AC, OC và OD.