a) Ta có $\widehat{AOC}=\widehat{ADC}$ (cùng nằm ở nửa mặt phẳng bên trong của đường tròn (O)) và $\widehat{AHC}=\widehat{AHD}$ (cùng nằm ở nửa mặt phẳng bên trong của đường tròn (O)).
Do đó, $\widehat{AOC}+\widehat{AHC}=\widehat{ADC}+\widehat{AHD}=180^\circ$.
Vậy tứ giác AOHP nội tiếp được đường tròn.
b) Ta có $\widehat{PDI}=\widehat{PDC}=\widehat{PAC}=\widehat{BAH}$ (do DI // PO và PA // BC).
Vậy tam giác PDI = tam giác BAH.
c) Ta có $\widehat{APC}=\widehat{ADC}$ (cùng nằm ở nửa mặt phẳng bên trong của đường tròn (O)) và $\widehat{APD}=\widehat{ACD}$ (cùng nằm ở nửa mặt phẳng bên trong của đường tròn (O)).
Do đó, $\widehat{APC}+\widehat{APD}=\widehat{ADC}+\widehat{ACD}=180^\circ$.
Vậy tứ giác APCD nội tiếp được đường tròn.
Theo định lý Ptolemy, ta có $PA.PC+PC.PD=PA.PD$.
Vì $PC.PD=PA.PC+PC.PD-PA.PC=PA.PD$, nên $PA^2=PC.PD$.
d) Ta có $\widehat{BCJ}=\widehat{BCP}=\widehat{BAP}=\widehat{DBA}$ (do AJ // DB và PA // BC).
Vậy AJ // DB.