Để chứng minh rằng n^5 - n chia hết cho 30 với mọi n, ta cần chứng minh rằng n^5 - n chia hết cho cả 2 và 3.

1. Chứng minh n^5 - n chia hết cho 2:
- Nếu n là số chẵn, tức là n = 2k với k là số nguyên, thì n^5 - n = (2k)^5 - 2k = 32k^5 - 2k = 2(16k^5 - k), là một số chẵn chia hết cho 2.
- Nếu n là số lẻ, tức là n = 2k + 1 với k là số nguyên, thì n^5 - n = (2k + 1)^5 - (2k + 1) = (32k^5 + 80k^4 + 80k^3 + 40k^2 + 10k + 1) - (2k + 1) = 32k^5 + 80k^4 + 80k^3 + 40k^2 + 8k, là một số chẵn chia hết cho 2.

2. Chứng minh n^5 - n chia hết cho 3:
- Nếu n chia hết cho 3, tức là n = 3k với k là số nguyên, thì n^5 - n = (3k)^5 - 3k = 243k^5 - 3k = 3(81k^5 - k), là một số chia hết cho 3.
- Nếu n không chia hết cho 3, tức là n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 với k là số nguyên, ta có:
+ Nếu n = 3k + 1, thì n^5 - n = (3k + 1)^5 - (3k + 1) = (243k^5 + 405k^4 + 270k^3 + 90k^2 + 15k + 1) - (3k + 1) = 243k^5 + 405k^4 + 270k^3 + 90k^2 + 12k, là một số chia hết cho 3.
+ Nếu n = 3k + 2, thì n^5 - n = (3k + 2)^5 - (3k + 2) = (243k^5 + 810k^4 + 1080k^3 + 720k^2 + 240k + 32) - (3k + 2) = 243k^5 + 810k^4 + 1080k^3 + 720k^2 + 237k + 30, là một số chia hết cho 3.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng n^5 - n chia hết cho cả 2 và 3, do đó n^5 - n chia hết cho 2 * 3 = 6.