Để tính độ dài cạnh AD, ta cần biết diện tích xung quanh của hình lăng trụ và chiều cao của nó.

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ được tính bằng công thức: Sxq = 2πrh, trong đó Sxq là diện tích xung quanh, r là bán kính đáy, và h là chiều cao.

Ta đã biết Sxq = 69 cm² và h = 6 cm. Để tính độ dài cạnh AD, ta cần tìm bán kính đáy r.

Diện tích đáy của hình lăng trụ là diện tích tứ giác ABCD. Ta có:

Sđ = AB * BC = 2 cm * 3 cm = 6 cm²

Vì ABCD là tứ giác, ta có thể tính diện tích của nó bằng cách sử dụng công thức diện tích tứ giác bất kỳ:

Sđ = 1/2 * AC * BD

Vì ABCD là tứ giác đều, ta có AC = BD. Vì vậy:

Sđ = 1/2 * AC * AC = 1/2 * AC²

Từ đó, ta có:

AC² = 2 * Sđ = 2 * 6 cm² = 12 cm²

Vậy AC = √12 cm = 2√3 cm

Vì ABCD là tứ giác đều, ta có AC = BD = 2√3 cm. Từ đó, ta có:

CD = 2,5 cm

Vì ABCD là tứ giác đều, ta có AD = AC + CD = 2√3 cm + 2,5 cm

Vậy độ dài cạnh AD là 2√3 cm + 2,5 cm.