Để chứng minh AH // MN, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:
1. Hai đường thẳng AH và MN cắt nhau tại một điểm.
2. Hai đường thẳng AH và MN có cùng vector chỉ phương.

1. Chứng minh AH và MN cắt nhau tại một điểm:
Gọi E là giao điểm của AH và MN.
Ta có:
- Góc BAC = 90 độ (do AH vuông góc AB)
- Góc BCA = 90 độ (do AC vuông góc BC)
Vậy góc BAC + góc BCA = 180 độ, suy ra A, B, C, E cùng thuộc một đường thẳng.
Do đó, AH và MN cắt nhau tại một điểm E.

2. Chứng minh AH và MN có cùng vector chỉ phương:
Gọi H' là trực tâm của tam giác ABC.
Ta có:
- AH' song song với MN (do H' là trực tâm của tam giác ABC)
- AH' = 2MN (do H' là trực tâm của tam giác ABC)
Vậy AH' và MN có cùng vector chỉ phương.
Tuy nhiên, ta cũng có:
- AH' // AH (do H' và H cùng thuộc đường thẳng AB)
- AH = 2MN (do M, N là trung điểm của BC)
Vậy AH và MN cũng có cùng vector chỉ phương.
Do đó, AH // MN.

Vậy ta đã chứng minh được AH // MN.