Chứng minh rằng phân số (2n^2 + 3) / (3n^2 + 5) là phân số tối giản với mọi số nguyên n

Để chứng minh rằng phân số $\frac{2n^2+3}{3n^2+5}$ là phân số tối giản với mọi số nguyên n, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số và mẫu số là 1.

Giả sử tử số và mẫu số có ước chung lớn hơn 1, tức là tử số và mẫu số đều chia hết cho một số nguyên d > 1. Ta có:

$2n^2+3 = d \cdot a$ (1)
$3n^2+5 = d \cdot b$ (2)

Trừ hai phương trình trên, ta được:

$(3n^2+5) - (2n^2+3) = d \cdot b - d \cdot a$
$n^2 + 2 = d \cdot (b - a)$ (3)

Vì n là số nguyên, nên $n^2 + 2$ cũng là số nguyên. Từ phương trình (3), ta thấy rằng d phải chia hết cho $n^2 + 2$. Tuy nhiên, $n^2 + 2$ là một số tự nhiên, nên d phải nhỏ hơn hoặc bằng $n^2 + 2$. Điều này chỉ xảy ra khi d = 1.

Vậy, ta kết luận rằng ƯCLN của tử số và mẫu số là 1, tức là phân số $\frac{2n^2+3}{3n^2+5}$ là phân số tối giản với mọi số nguyên n.