Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học đường tròn và tứ giác nội tiếp.

1. Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp:
Ta có:
∠BME = 90° (do dây CD vuông góc với AB tại E)
∠BFE = 90° (do dây AM cắt CD tại F)
Vậy tứ giác BMFE nội tiếp.

2. Chứng minh BF vuông góc với AK và EK.EF = EA.EB:
Ta có:
∠BME = 90° (do dây CD vuông góc với AB tại E)
∠BFE = 90° (do dây AM cắt CD tại F)
Vậy tứ giác BMFE nội tiếp.
Do đó, theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:
∠BFA = ∠BME = ∠BFE = 90°
Vậy BF vuông góc với AK.

Ta có:
∠BME = 90° (do dây CD vuông góc với AB tại E)
∠BFE = 90° (do dây AM cắt CD tại F)
Vậy tứ giác BMFE nội tiếp.
Do đó, theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:
EK.EF = EA.EB.

3. Chứng minh IK = IF:
Ta có:
∠BME = 90° (do dây CD vuông góc với AB tại E)
∠BFE = 90° (do dây AM cắt CD tại F)
Vậy tứ giác BMFE nội tiếp.
Do đó, theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:
∠BFI = ∠BMI
Vậy BF song song với MI.
Ta có:
∠BFA = ∠BME = ∠BFE = 90°
Vậy BF vuông góc với AK.
Do đó, theo tính chất của góc đồng quy, ta có:
∠BFI = ∠BAK
Vậy BF song song với AK.
Vậy BF là đường cao của tam giác ABK.
Do đó, theo tính chất của đường cao, ta có:
IF = IK.