a) Ta có:
- Đường trung trực của AB là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB.
- Đường trung trực của AC là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và vuông góc với AC.
Vì tam giác ABC cân tại A nên trung điểm của AB cũng là trung điểm của AC.
Do đó, đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại O, đi qua trung điểm của AB và AC.
Vậy OA là đường trung trực của BC.

b) Ta có:
- Đường trung trực của AB cắt BC tại D.
- Đường trung trực của AC cắt BC tại E.
Vì tam giác ABC cân tại A nên trung điểm của AB cũng là trung điểm của AC.
Do đó, D và E là trùng nhau, tức là D và E là trung điểm của BC.
Vậy BD = CE.

c) Ta có:
- OA là đường trung trực của BC (đã chứng minh ở câu a).
- AD là đường trung trực của BC (vì D là trung điểm của BC).
Vậy OA và AD là hai đường trung trực của BC, nên OA // AD.
Tương tự, ta có OE // AE.
Vì OA // AD và OE // AE, nên OAED là hình bình hành.
Do đó, OA = DE và OD = AE.
Vậy tam giác AODE là tam giác cân (với AO = DE và OD = AE).