a.Xét ΔABI và ΔADI có:

          AB=AD (do cánh lấy điểm D)

          BAI=DAI (do AI là tia phân giác góc A)

         AI chung

=>ΔABI=ΔADI (c.g.c)

=>BI=DI (2 cạnh tương ứng)

b.Vì ΔABI=ΔADI (cm câu a)

=>ABI=ADI (2 góc tương ứng)

Lại có: ABI+IBE=180 độ (2 góc kề bù)

           ADI+IDC=180 độ (2 góc kề bù)

=>IBE=IDC

Xét ΔIBE và ΔIDC có:

      IBE=IDC (cmt)

      IB=ID (cm câu a)

      BIE=DIC (2 góc đối đỉnh)

=>ΔIBE=ΔIDC (g.c.g)

c.Vì ΔIBE=ΔIDC (cm câu b)

=>BE=DC (2 cạnh tương ứng)

Lại có: AB=AD (gt)

=>AB+BE=AD+DC

hay AE=AC

=>ΔAEC cân tại A

Trong ΔAEC cân tại A có:

     Đường phân giác AI đồng thời là đường cao

=>AI⊥EC (1)

Ta có: AB=AD (gt)

=>ΔABD cân tại A

Trong ΔABD cân tại A có:

     Đường phân giác AI đồng thời là đường cao

=>AI⊥BD (2)

Từ (1) và (2) =>BD//EC (vì cùng ⊥AI)

d.Vì ΔIBE=ΔIDC (cm câu b)

=>BEI=DCI (2 góc tương ứng)

và BIE=DIC (2 góc tương ứng)

và IB=ID (2 cạnh tương ứng)

Ta có: ABC=BEI+BIE

Mà BEI=DCI (cmt)

và BIE=DIC (cmt)

=>ABC=DCI+DIC (3)

Lại có: ABC=2.DCI=DCI+DCI (4) (do ABC=ACB)

Từ (3) và (4) =>DCI=DIC

=>ID=DC

Mà ID=BI (cmt)

=>BI=DC

Lại có: AB=AD (gt)

=>AB+BI=AD+DC

hay AB+BI=AC.