a) Ta có góc A = 60° và góc BAC = 90° (do hình thoi ABCD), nên góc B = 180° - 60° - 90° = 30°.
Do đó, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
Khi kẻ đường thẳng d qua C cắt tia đối của BA tại E, ta có góc BAE = 90° - 60° = 30°.
Vì góc BAE = góc B, nên tam giác BAE đồng dạng với tam giác BAC.
Tương tự, tam giác DAF đồng dạng với tam giác DAC.
Do đó, ta có EB/BA = AE/AC và AD/DF = AF/AC.
Vì tam giác BAE đồng dạng với tam giác BAC và tam giác DAF đồng dạng với tam giác DAC, nên AE/AC = BA/BC và AF/AC = DA/DC.
Từ đó, ta có EB/BA = AE/AC = BA/BC và AD/DF = AF/AC = DA/DC.
Vì BC = DC (do hình thoi ABCD), nên EB/BA = AD/DF.

b) Vì tam giác BAE đồng dạng với tam giác BAC và tam giác DAF đồng dạng với tam giác DAC, nên góc BAE = góc BAC và góc DAF = góc DAC.
Do đó, góc BAE + góc DAF = góc BAC + góc DAC = 90° + 90° = 180°.
Vì I là giao điểm của BF và DE, nên góc BID + góc DIF = 180° (do tổng các góc trong tam giác BIF bằng 180°).
Từ đó, ta có góc BID = 180° - góc DIF = 180° - (góc BAE + góc DAF) = 180° - 180° = 0°.
Vì góc BID = 0°, nên góc BID = 120°.

Vậy, ta đã chứng minh được a), b) và c).