Cho các số a.b.c dương thỏa mãn b^2c^2=(ac+b căn b^2+c^2)(c căn a^2+b^2 -b^2)

Bắt đầu bằng việc giải phương trình đã cho:
b^2c^2 = (ac + b√(b^2 + c^2))(c√(a^2 + b^2 - b^2))

Ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng:
b^2c^2 = (ac + b√(b^2 + c^2))(c√(a^2))

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng b^2 = ac.

Giả sử b^2 ≠ ac, khi đó ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: b^2 > ac
Khi đó, ta có b^2 + c^2 > ac + c^2, do đó √(b^2 + c^2) > √(ac + c^2).
Vì b^2 > ac, nên ac + b^2 > ac + c^2, do đó ac + b^2 > ac + c^2 > 0.
Từ đó, ta có (ac + b√(b^2 + c^2))(c√(a^2)) > 0.
Tuy nhiên, b^2c^2 < 0, điều này dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy trường hợp này không thể xảy ra.

Trường hợp 2: b^2 < ac
Khi đó, ta có b^2 + c^2 < ac + c^2, do đó √(b^2 + c^2) < √(ac + c^2).
Vì b^2 < ac, nên ac + b^2 < ac + c^2, do đó ac + b^2 < ac + c^2 < 2ac.
Từ đó, ta có (ac + b√(b^2 + c^2))(c√(a^2)) < 2ac.
Tuy nhiên, b^2c^2 > 2ac, điều này dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy trường hợp này cũng không thể xảy ra.

Do đó, giả định ban đầu b^2 ≠ ac là sai.
Vậy ta kết luận rằng b^2 = ac.