Để giải quyết bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng phần.

### a) Chứng minh hai tam giác AEB và DEC bằng nhau.
Ta có các điểm sau:
- \( E \) là trung điểm của \( BC \) ⇒ \( BE = EC \)
- \( D \) nằm trên tia đối của \( EA \), mà \( ED = EA \)
- Bây giờ cần chứng minh hai tam giác \( AEB \) và \( DEC \) bằng nhau.

**Chứng minh:**
1. Do \( E \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BE = EC \).
2. Ta có \( ED = EA \) (theo giả thiết).
3. Xét góc \( \angle AEB \) và \( \angle DEC \). Vì điểm \( D \) nằm trên tia đối của tia \( EA \) nên có: \( \angle AEB = \angle CED \).
4. Từ đó, ta có:
\[
AEB \cong DEC \quad \text{(theo tiêu chuẩn góc-góc-cạnh: GGC)}
\]

### b) Chứng minh AC song song với BD.
**Chứng minh:**
Từ phần a), ta đã xác định rằng hai tam giác \( AEB \) và \( DEC \) bằng nhau:
- Do đó, các cặp cạnh tương ứng cũng bằng nhau, tức là \( AB = CD \).

Mà \( BE = EC \) thì có thể suy ra rằng \( \Delta AEB \cong \Delta DEC \) cũng dẫn đến \( AE \parallel CD \).

### c) Kẻ EI vuông góc với AC tại I và EK vuông góc với BD tại K. Chứng minh hai tam giác AIE và DKE bằng nhau và ba điểm I, E, K thẳng hàng.
**Chứng minh:**
1. Vì \( EI \perp AC \) và \( EK \perp BD \), ta có:
- Góc \( \angle AIE = 90^\circ \)
- Góc \( \angle DKE = 90^\circ \)

2. Ta có \( AE = DE \) (theo phần a), \( EI = EK \) (do cả hai cạnh đều vuông góc).
3. Từ đó, ta có:
- \( AIE \cong DKE \quad \text{(theo GGC)} \)

4. Do hai tam giác \( AIE \) và \( DKE \) bằng nhau, ta có:
- \( AI = DK \)
- \( IE = KE \)

Bây giờ:
- Ta cần chứng minh rằng ba điểm I, E, K thẳng hàng. Sử dụng tính chất về đường thẳng vuông góc:
- Nếu \( EI \) vuông góc với \( AC \) và \( EK \) vuông góc với \( BD \) thì \( EI \) và \( EK \) sẽ giao nhau tại một điểm thẳng hàng với \( E \).

5. Từ sự đồng dạng và các mối quan hệ hình học, ta có thể kết luận rằng ba điểm \( I \), \( E \), \( K \) sẽ thẳng hàng.

### Kết luận
Ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán qua ba phần:
a) Tam giác \( AEB \) bằng tam giác \( DCE \);
b) Cạnh \( AC \) song song với \( BD \);
c) Tam giác \( AIE \) bằng tam giác \( DKE \) và ba điểm \( I \), \( E \), \( K \) thẳng hàng.