Để chứng minh các phần sau, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường tròn.

1. Chứng minh tam giác BEC cân:
- Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH là đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Vì vậy, ta có AH = HC.
- Từ đó, ta có tam giác AHC cân.
- Vì AD là đường kính của đường tròn (A; AH), nên góc AHD = 90 độ.
- Vì vậy, ta có góc AHE = góc AHD = 90 độ.
- Từ đó, ta có tam giác AHE vuông tại E.
- Vì vậy, ta có góc EHA = 90 độ.
- Từ đó, ta có góc EHB = góc EHA = 90 độ.
- Vậy tam giác BEC cân.

2. Chứng minh AI = AH:
- Ta có tam giác AHE vuông tại E.
- Vì vậy, ta có góc EHA = 90 độ.
- Từ đó, ta có góc EHI = góc EHA = 90 độ.
- Vì vậy, ta có tam giác EHI vuông tại I.
- Vì AI là hình chiếu của A trên BE, nên AI vuông góc với BE.
- Từ đó, ta có góc AIE = 90 độ.
- Vậy tam giác AIE vuông tại I.
- Vì vậy, ta có AI = AH.

3. Chứng minh BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH):
- Ta đã chứng minh tam giác BEC cân.
- Vì vậy, ta có góc BEC = góc BCE.
- Từ đó, ta có góc BEC + góc BCE = 180 độ.
- Vì vậy, ta có góc BAC = 180 độ - (góc BEC + góc BCE) = 180 độ - 180 độ = 0 độ.
- Vậy, ta có góc BAC = 0 độ.
- Từ đó, ta có BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).

4. Chứng minh BE = BH + DE:
- Ta có tam giác BEC cân.
- Vì vậy, ta có BE = BC.
- Ta có tam giác AHC cân.
- Vì vậy, ta có AH = HC.
- Từ đó, ta có BH = BC - HC = BC - AH.
- Ta có tam giác AHE vuông tại E.
- Vì vậy, ta có góc EHA = 90 độ.
- Từ đó, ta có góc EHB = góc EHA = 90 độ.
- Vì vậy, ta có tam giác EHB vuông tại H.
- Từ đó, ta có góc HBE = 90 độ.
- Vậy, ta có tam giác HBE vuông tại H.
- Vì vậy, ta có DE = DH.
- Từ đó, ta có BE = BH + DE.
- Vậy, ta đã chứng minh được BE = BH + DE.