Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của B cắt Ac tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E. Gọi M là giao điểm của AB và DE

a. Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Khi đó, theo tính chất của tia phân giác, ta có:

∠ABD = ∠DBE (1)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ∠ABC = 90°. Khi đó, theo tính chất của tam giác vuông, ta có:

∠ABD + ∠DBA + ∠ABC = 180°

∠ABD + ∠DBA + 90° = 180°

∠ABD + ∠DBA = 90° (2)

Từ (1) và (2), suy ra ∠EBD = ∠DBA.

Do đó, tam giác ABD và tam giác EBD có cặp góc tương đồng, nên chúng đồng dạng. Từ đó, ta có:

AB/EB = AD/ED

Vì AB = AD (vì A là giao điểm của AB và DE), nên ta có:

1/EB = 1/ED

EB = ED

Vậy BA = BE.

b. Ta có:

∠ADM = ∠BDE (vì DE || AB)

∠DAM = ∠DBE (vì tam giác ABD và tam giác EBD đồng dạng)

Do đó, tam giác ADM và tam giác BDE có cặp góc tương đồng, nên chúng đồng dạng. Từ đó, ta có:

AD/BD = DM/DE

Vì AD = AB (vì A là giao điểm của AB và DE), nên ta có:

AB/BD = DM/DE

Vì BA = BE (vừa chứng minh ở câu a), nên ta có:

BE/BD = DM/DE

BE/BD = DM/DE = 1

Vậy BD = DE = DM.

c. Gọi K là trung điểm của MC. Ta cần chứng minh B, D, K thẳng hàng.

Vì M là giao điểm của AB và DE, nên ta có:

AM/MB = DM/ME

Vì DM = DE (vừa chứng minh ở câu b), nên ta có:

AM/MB = DE/ME

Vì K là trung điểm của MC, nên ta có:

MK/KC = DE/ME

Vì DE = DM (vừa chứng minh ở câu b), nên ta có:

MK/KC = DM/ME = 1

Vậy MK = KC.

Do đó, B, D, K thẳng hàng.

Cho x^2 - 4x + 1 = 0.

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

Trong đó, a = 1, b = -4, c = 1.

Tính giá trị của biểu thức b^2 - 4ac:

b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12

Vì b^2 - 4ac > 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

x = (-(-4) ± √(12))/(2(1)) = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3

Vậy phương trình x^2 - 4x + 1 = 0 có hai nghiệm là 2 + √3 và 2 - √3.