Để chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn, ta cần chứng minh góc AFE = góc AHE.

Ta có:
- Góc AFE = góc ABC (do ABFE là tứ giác nội tiếp)
- Góc AHE = góc ACB (do ACHF là tứ giác nội tiếp)

Vì ABC là tam giác nhọn, nên góc ABC < góc ACB. Từ đó suy ra góc AFE < góc AHE.

Vậy tứ giác AFHE không thể nội tiếp trong một đường tròn.

Để xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta cần tìm giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE và tam giác ACF.

Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE và tam giác ACF. Ta cần chứng minh I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có:
- Góc AIB = 180° - góc AEB (do ABE là tứ giác nội tiếp)
- Góc AIC = 180° - góc AFC (do ACF là tứ giác nội tiếp)

Vì góc AEB = góc AFC (cùng là góc nhìn từ đỉnh A), nên góc AIB = góc AIC.

Vậy I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Để tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta cần tìm độ dài AI.

Ta có:
- Góc AIB = 180° - góc AEB = 180° - góc ABC
- Góc AIC = 180° - góc AFC = 180° - góc ACB

Vì góc AIB = góc AIC, nên tam giác AIB và AIC đồng dạng.

Áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có:
AI/AB = AI/AC
=> AI^2 = AB x AC

Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là √(AB x AC).