a) Ta có:
- Gọi I là giao điểm của MP và AC.
- Gọi J là giao điểm của MR và BC.
- Gọi K là giao điểm của MQ và AB.

Do M là điểm nằm trong tam giác đều ABC, nên ta có:
- Tam giác MBC và tam giác MCA là tam giác đều.
- Góc MBC = Góc MCA = 60 độ.

Từ đó, ta có:
- Góc MBI = Góc MBC = 60 độ.
- Góc MCI = Góc MCA = 60 độ.

Vì MBC và MCA là tam giác đều, nên ta có:
- MB = MC.
- IB = IC.

Do đó, ta có:
- Tam giác MIB và tam giác MIC là tam giác cân.
- Góc MIB = Góc MIC.

Từ đó, ta có:
- Góc MIR = Góc MIB + Góc BIR = Góc MIC + Góc CIR = Góc MIC + Góc MCR = Góc MCI = 60 độ.

Vậy tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Ta có:
- Góc MIR = 60 độ (do APMR là hình thang cân).
- Góc MIR + Góc MRI = 180 độ (do tứ giác APMR là tứ giác nội tiếp).
- Góc MRI = Góc MRP = Góc PQR (do MQ || BC).
- Góc MIR = Góc MIR (do MR || AC).

Từ đó, ta có:
- Góc PQR = Góc MIR = 60 độ.

Vậy tam giác PQR là tam giác đều.

c) Để tam giác PQR là tam giác đều, ta cần có góc PQR = 60 độ. Từ b), ta biết rằng góc PQR = 60 độ khi và chỉ khi tứ giác APMR là hình thang cân.