Để chứng minh a) AB vuông DN, ta cần chứng minh AM là đường cao của tam giác ABN.

Vì AM và BN song song nhau, nên ta có:
∠AMN = ∠ABN (góc đồng quy)
∠ANM = ∠ANB (góc đồng quy)

Vì ∠AMN + ∠ANM = 180° (góc bù), nên ta có:
∠AMN + ∠ANM = ∠ABN + ∠ANB
∠AMN + ∠ANM = ∠ABN + ∠ABN (vì ∠ANB = ∠ABN)
∠AMN + ∠ANM = 2∠ABN

Vì AM và BN song song nhau, nên ta có:
∠ABN = ∠MNB (góc đồng quy)

Vậy ta có:
∠AMN + ∠ANM = 2∠MNB
∠AMN + ∠ANM = 2∠ABN
∠AMN + ∠ANM = ∠ABN + ∠ABN
∠AMN + ∠ANM = ∠ABN + ∠ANB
∠AMN + ∠ANM = ∠AMN + ∠ANM

Do đó, ta có:
∠AMN = ∠AMN
∠ANM = ∠ANM

Vậy ta có:
AM = AM (cạnh góc nhọn)
AN = AN (cạnh góc nhọn)
∠AMN = ∠AMN (góc nhọn)

Vậy theo định nghĩa, tam giác AMN là tam giác cân tại M.

Vì AM là đường cao của tam giác ABN, nên ta có:
AB ⊥ MN

Vậy ta đã chứng minh được a) AB vuông DN.

Để chứng minh b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh ∠BCN = ∠BAN.

Vì AB ⊥ DN (theo a)), nên ta có:
∠ABN = 90°

Vì AM và BN song song nhau, nên ta có:
∠ABN = ∠MNB (góc đồng quy)

Vậy ta có:
∠MNB = 90°

Vì ∠MNB = 90°, nên ta có:
∠MNC = 90° (góc nội tiếp)

Vậy ta có:
∠BCN = ∠MNC (góc nội tiếp)

Vì ∠ABN = ∠MNB = 90°, nên ta có:
∠BAN = ∠MNB (góc đồng quy)

Vậy ta có:
∠BCN = ∠MNC = ∠BAN

Do đó, ta có:
BC // AN

Vậy ta đã chứng minh được b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).