a) Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
∠OAB = ∠OCA (cùng nằm ở cùng một cung AC)
∠OBA = ∠OAC (cùng nằm ở cùng một cung AB)

Do đó, theo góc đồng quy, ta có tứ giác ABOC nội tiếp trong đường tròn.

b) Ta có:
∠ODA = ∠OEA (cùng nằm ở cùng một cung AE)
∠ODH = ∠OAH (cùng nằm ở cùng một cung AH)

Do đó, theo góc đồng quy, ta có tứ giác ODAH nội tiếp trong đường tròn.

Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác ODAH, ta có:
OD * AH + OA * DH = OH * AD

Vì OD = OA (vì D nằm giữa A và E), nên ta có:
OA * AH + OA * DH = OH * AD
OA * (AH + DH) = OH * AD
OA * BC = OH * AD

Do đó, ta có OD^2 = OH * OA.

c) Ta có:
∠DHE = ∠DAE (cùng nằm ở cùng một cung AE)
∠DHB = ∠DAB (cùng nằm ở cùng một cung AB)
∠DHC = ∠DAC (cùng nằm ở cùng một cung AC)

Do đó, theo góc đồng quy, ta có tứ giác DHEB và tứ giác DHCB nội tiếp trong đường tròn.

Vì ∠DHB = ∠DHC, nên ta có BC là tia phân giác của góc DHE.

d) Ta có:
∠DAB = ∠DHE (cùng nằm ở cùng một cung AE)
∠DBC = ∠DHC (cùng nằm ở cùng một cung AC)

Do đó, theo góc đồng quy, ta có tứ giác DABM và tứ giác DHBC nội tiếp trong đường tròn.

Vì DABM và DHBC là tứ giác nội tiếp trong đường tròn, nên ta có:
∠DAM = ∠DBM (cùng nằm ở cùng một cung AB)
∠DHN = ∠DCN (cùng nằm ở cùng một cung AC)

Vì ∠DAM = ∠DBM và ∠DHN = ∠DCN, nên ta có:
∠DAM = ∠DHN

Do đó, ta có DN || BM và DN = 2BM.

Vì DN || BM và DN = 2BM, nên ta có D là trung điểm của MN.