Để chứng minh tứ giác BEFC là hình thang, ta cần chứng minh hai cặp góc đối nhau bằng nhau.

Gọi G là giao điểm của BE và CF.

Ta có:
- Góc BGI là góc giữa đường phân giác của góc B và đường thẳng BI, nên Góc BGI = Góc BIG.
- Góc CGI là góc giữa đường phân giác của góc C và đường thẳng CI, nên Góc CGI = Góc CIG.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.

Do đó, tứ giác BCGI là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.

Áp dụng định lý tứ giác nội tiếp, ta có:
- Góc BGC + Góc BIG = 180 độ.
- Góc BGC + Góc CIG = 180 độ.

Từ hai phương trình trên, ta suy ra:
Góc BIG = Góc CIG.

Vậy, tứ giác BEFC là hình thang.

Tiếp theo, ta cần chứng minh AI^2 = 2EF^2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC.

Ta có:
- Tam giác AEF và tam giác AHB là hai tam giác vuông cân.
- Góc AEF = Góc AHB (do là góc giữa đường phân giác và đường thẳng).
- Góc EAF = Góc HAB (do là góc giữa đường thẳng và đường thẳng).
- Do đó, hai tam giác AEF và AHB đồng dạng.

Áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có:
AE/AH = EF/HB.

Vì tam giác AEF và tam giác AHB là tam giác vuông cân, nên AE/AH = EF/HB = 1.

Từ đó, ta suy ra:
AE = AH và EF = HB.

Vậy, tứ giác AEHF là hình vuông.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHI, ta có:
AI^2 = AH^2 + HI^2.

Vì AE = AH, nên HI = EF.

Thay vào phương trình trên, ta có:
AI^2 = AH^2 + EF^2.

Vì AE = AH, nên AI^2 = AE^2 + EF^2.

Vì tứ giác AEHF là hình vuông, nên AE^2 = 2EF^2.

Thay vào phương trình trên, ta có:
AI^2 = 2EF^2.

Vậy, ta đã chứng minh AI^2 = 2EF^2.