Để chứng minh rằng I nằm trên đường kính AB, ta cần chứng minh rằng tam giác AIC là tam giác vuông.

Ta có:

• AB là đường kính của đường tròn tâm O, nên tam giác ABC là tam giác vuông tại C.
• CM và DN là hai dây bằng nhau và cắt nhau tại I.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại C, nên ta có:
∠ACB = 90°

Vì CM và DN là hai dây bằng nhau và cắt nhau tại I, nên ta có:
∠CIM = ∠DIN (góc ở tâm đối nhau)
∠CMI = ∠DNI (góc ở tâm đối nhau)

Do đó, tam giác CIM và tam giác DIN là hai tam giác cân.

Vì CIM và DIN là hai tam giác cân, nên ta có:
∠ICM = ∠IDN (góc đỉnh của tam giác cân)
∠CIM = ∠DIN (góc đỉnh của tam giác cân)

Từ hai phương trình trên, ta suy ra:
∠ICM = ∠CIM

Vậy tam giác AIC là tam giác vuông tại I.

Do I nằm trên đường thẳng AC và AIC là tam giác vuông tại I, nên I nằm trên đường kính AB.

Vậy I nằm trên đường kính AB.