a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật: Ta có IA và MB là hai trung tuyến của tam giác MNI, suy ra IA // MB và IA = 1/2 MB. Do đó, góc IAD = góc MBD (do cùng chắn cung ID). Mặt khác, ta có góc IAD = góc IAC (do cùng chắn cung IC), suy ra góc IAC = góc MBD. Do đó, AC // BD và AC = BD. Vì AC // BD và AB // CD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ta có góc ACD = góc ABD (do cùng chắn cung AD), mà góc ABD = 90 độ (do tam giác MNI cân tại N), suy ra góc ACD = 90 độ. Do đó, tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

b) Tính chu vi hình chữ nhật ABCD: Ta có MI = 18 cm và NK = 12 cm. Vì tam giác MNI cân tại N nên NI = NK = 12 cm. Do đó, MN = √(MI^2 - NI^2) = √(18^2 - 12^2) = √(324 - 144) = √180 = 6√5 cm.

Vì IA và MB là hai trung tuyến của tam giác MNI nên IA = 1/3 MN và MB = 2/3 MN. Do đó, AB = MB - MA = MB - 1/2 MI = 2/3 MN - 1/2 MI = 2/3 * 6√5 - 1/2 * 18 = 4√5 - 9 cm.

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên chu vi của nó bằng (AB + BC) * 2. Ta có BC = AC (do ABCD là hình chữ nhật), mà AC = IA + IC (do C là trung điểm của KI), suy ra BC = IA + IC. Do đó, chu vi của ABCD bằng ((AB + IA + IC) * 2 = ((4√5 - 9) + (1/3 * 6√5) + (1/3 * 6√5)) * 2 ≈ 26.93 cm.

Vậy, chu vi của hình chữ nhật ABCD khoảng bằng 26.93 cm.