Để chứng minh DM vuông góc với EF, ta cần chứng minh rằng DM song song với EF và DM vuông góc với EF.

Bước 1: Chứng minh DM song song với EF
Giả sử DM không song song với EF. Khi đó, DM và EF sẽ cắt nhau tại một điểm G.

Vì tam giác DEF cân tại D nên DE = DF. Ta có:
∠EDM = ∠FDM (do DM là đường trung tuyến)
∠EDG = ∠FDG (do EG là đường cao)
Vậy, tam giác EDM và tam giác FDG là hai tam giác cân có cạnh chung DG.

Do đó, ta có:
∠EDM = ∠FDM
∠EDG = ∠FDG
∠EDM + ∠EDG = ∠FDM + ∠FDG
∠EDG + ∠EDM = ∠FDG + ∠FDM
∠EDM + ∠EDG = ∠FDM + ∠FDG = 180° (do tổng các góc trong tam giác bằng 180°)

Từ đó suy ra, tam giác EDM và tam giác FDG là hai tam giác đồng dạng.

Vì DE = DF, nên tam giác EDM và tam giác FDG là hai tam giác cân đồng dạng. Do đó, ta có:
∠DEM = ∠DFG
∠DEM + ∠DFG = 180° (do tổng các góc trong tam giác bằng 180°)

Tuy nhiên, ∠DEM + ∠DFG = 180° chỉ xảy ra khi DM song song với EF. Điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu DM không song song với EF.

Vậy, giả định DM không song song với EF là sai. Do đó, ta kết luận rằng DM song song với EF.

Bước 2: Chứng minh DM vuông góc với EF
Vì DM song song với EF, nên ta có:
∠DEM = ∠DFG (do tam giác EDM và tam giác FDG là hai tam giác đồng dạng)
∠DEM + ∠DFG = 180° (do tổng các góc trong tam giác bằng 180°)

Từ đó suy ra, ∠DEM = ∠DFG = 90°/2 = 45°.

Vậy, ta có ∠DEM = 45°. Do đó, DM vuông góc với EF.

Từ cả hai bước trên, ta đã chứng minh rằng DM vuông góc với EF.