a) Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó AB = AC.
Gọi I là giao điểm của BD và AC.
Vì tam giác ABC cân nên IB = IC.
Vì đường thẳng BC vuông góc với AC tại C nên tam giác BIC vuông tại I.
Do đó, ta có tam giác BIC vuông cân tại I, suy ra IB = IC = ID.
Vậy tam giác BID cũng là tam giác cân tại I.
Khi đó, ta có BD là đường trung bình của tam giác BIC, nên BD // MN (do M là giao điểm của BD và AC).
Vì vậy, ta có MN // AB.

b) Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó AB = AC.
Gọi I là giao điểm của BD và AC.
Vì tam giác ABC cân nên IB = IC.
Vì đường thẳng BC vuông góc với AC tại C nên tam giác BIC vuông tại I.
Do đó, ta có tam giác BIC vuông cân tại I, suy ra IB = IC = ID.
Vậy tam giác BID cũng là tam giác cân tại I.
Khi đó, ta có BD là đường trung bình của tam giác BIC, nên BM = MD.
Vì E là trung điểm của BD nên BE cắt MD tại M cũng là trung điểm của MD.
Vậy M là trung điểm của BE.