Để chứng minh tam giác BHM = tam giác CKM, ta cần chứng minh BH = CK và BM = CM.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
3^2 + 4^2 = BC^2
9 + 16 = BC^2
25 = BC^2
BC = 5 cm

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = CM = BC/2 = 5/2 = 2.5 cm.

Ta có:
AH = AM/2 = AC/2 = 4/2 = 2 cm
AK = AM/2 = AB/2 = 3/2 = 1.5 cm

Vì BH vuông góc với AM, nên ta có:
BH^2 = AH^2 + AB^2
BH^2 = 2^2 + 3^2
BH^2 = 4 + 9
BH^2 = 13
BH = √13 cm

Vì CK vuông góc với AM, nên ta có:
CK^2 = AK^2 + AC^2
CK^2 = 1.5^2 + 4^2
CK^2 = 2.25 + 16
CK^2 = 18.25
CK = √18.25 cm

Ta thấy BH ≠ CK, nên tam giác BHM ≠ tam giác CKM.

Tiếp theo, ta chứng minh BI vuông góc với AC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
3^2 + 4^2 = BC^2
9 + 16 = BC^2
25 = BC^2
BC = 5 cm

Vì BI vuông góc với AC, nên ta có:
BI^2 = AB^2 + AI^2
BI^2 = 3^2 + AI^2
BI^2 = 9 + AI^2

Ta thấy AI^2 > 0, nên BI < BC.

Vậy, ta có HI < MK.

Cuối cùng, ta so sánh BH + BK với BC.

BH + BK = √13 + √18.25

Ta thấy BH + BK < BC.

Vậy, ta có BH + BK < BC.