[(x-2)/(x-1)+3/(x-1)-(x+3)/(x+1)]:[1-(x-3)/(x+1)]

a. Để tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức, ta cần xem xét các giá trị mà mẫu số không được bằng 0.

Mẫu số của biểu thức là (x - 1)(x + 1)(x + 1). Vì vậy, ta có điều kiện xác định là x ≠ 1 và x ≠ -1.

Để rút gọn biểu thức, ta thực hiện phép tính:

[(x - 2)/(x - 1) + 3/(x - 1) - (x + 3)/(x + 1)] / [1 - (x - 3)/(x + 1)]
= [(x - 2 + 3 - (x + 3))/(x - 1)] / [(x + 1 - (x - 3))/(x + 1)]
= [-2/(x - 1)] / [4/(x + 1)]
= -2(x + 1)/(4(x - 1))
= -(x + 1)/(2(x - 1))

Vậy biểu thức đã được rút gọn thành -(x + 1)/(2(x - 1)).

b. Để biểu thức bằng -1002, ta giải phương trình:

-(x + 1)/(2(x - 1)) = -1002

Nhân cả hai vế của phương trình với 2(x - 1), ta có:

-(x + 1) = -1002 * 2(x - 1)
-x - 1 = -2004(x - 1)
-x - 1 = -2004x + 2004
2003x = 2005
x = 2005/2003

Vậy x = 2005/2003 để biểu thức bằng -1002.

c. Để biểu thức lớn hơn 1, ta giải phương trình:

-(x + 1)/(2(x - 1)) > 1

Nhân cả hai vế của phương trình với 2(x - 1), ta có:

-(x + 1) > 2(x - 1)
-x - 1 > 2x - 2
3x < 1
x < 1/3

Vậy x < 1/3 để biểu thức lớn hơn 1.

d. Để biểu thức là một số nguyên, ta cần tìm các giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện xác định.

Vì x ≠ 1 và x ≠ -1, nên ta cần xét các giá trị nguyên khác 1 và -1.

Khi x = 0, biểu thức là -(0 + 1)/(2(0 - 1)) = -1/2, không phải số nguyên.

Khi x = 2, biểu thức là -(2 + 1)/(2(2 - 1)) = -3/2, không phải số nguyên.

Khi x = -2, biểu thức là -(-2 + 1)/(2(-2 - 1)) = 1/6, không phải số nguyên.

Vậy không có giá trị nguyên của x để biểu thức là một số nguyên.