Cho n thỏa mãn n+3 > 2n, n ∈ R

1. Để n+3 > 2n, ta có:
n + 3 > 2n
3 > n

Vậy điều kiện để n thỏa mãn là n < 3.

2. Ta có S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + ... + 2n

Đặt S' = (2n) + (2n-1) + (2n-2) + ... + n

Ta có: S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + ... + 2n
= (2n) + (2n-1) + (2n-2) + ... + n
= S'

Vậy phương trình uS = vS' với u, v ≠ 0, u ≠ v.

3. Để giải phương trình uS = vS', ta có:
uS = vS'
u(n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + ... + 2n) = v((2n) + (2n-1) + (2n-2) + ... + n)
uS = vS'

Đặt m = 2n, ta có:
u(n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + ... + 2n) = v((2n) + (2n-1) + (2n-2) + ... + n)
uS = vS'
uS = v(m + (m-1) + (m-2) + ... + n)

Ta có công thức tổng của dãy số từ m đến n là:
S = (n - m + 1)(m + n)/2

Áp dụng công thức trên, ta có:
uS = v(m + (m-1) + (m-2) + ... + n)
uS = v((n - m + 1)(m + n)/2)

Vậy phương trình uS = vS' trở thành:
uS = v((n - m + 1)(m + n)/2)

4. Để xác định giá trị tổng S, ta có:
S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + ... + 2n

Đặt m = 2n, ta có:
S = (n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + ... + 2n)
= (2n + (2n-1) + (2n-2) + ... + n)
= S'

Vậy giá trị tổng S là giống với giá trị tổng S'.