Để chứng minh rằng các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn đi qua một đường tròn cố định, ta sẽ sử dụng tính chất của các mặt cầu.

Gọi B là một điểm trên đường thẳng a sao cho OB = OA. Ta sẽ chứng minh rằng các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn đi qua đường tròn tâm B bán kính r = OA.

Xét một mặt cầu tâm O bán kính r = OA. Gọi M là một điểm trên mặt cầu này. Ta cần chứng minh rằng M nằm trên đường tròn tâm B bán kính r = OA.

Vì O là tâm của mặt cầu, nên OM = OA = OB. Khi đó, tam giác OMB là tam giác cân tại O.

Do đó, góc MOB = góc MBO.

Vì OB = OA và góc MOB = góc MBO, nên tam giác MOB là tam giác cân tại O và cân tại B.

Vậy, M nằm trên đường tròn tâm B bán kính r = OA.

Vì M là một điểm trên mặt cầu tâm O bán kính r = OA, nên các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn đi qua đường tròn tâm B bán kính r = OA.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn đi qua một đường tròn cố định.