a) Ta có HD = HB, suy ra tam giác HBD cân tại H. Vì tam giác ABC vuông tại A nên tam giác HAC cũng vuông tại A. Do đó, tam giác HAC và tam giác HBD có cùng một góc vuông và cùng một góc nhọn (góc ACH và góc BHD). Vậy, hai tam giác này đồng dạng.

Áp dụng định lí đồng dạng tam giác, ta có:
$\frac{HB}{AC} = \frac{BD}{HC}$
$\Rightarrow \frac{HB}{40} = \frac{BD}{HC}$
$\Rightarrow \frac{HB}{40} = \frac{BD}{BD + HC}$
$\Rightarrow \frac{HB}{40} = \frac{BD}{BD + HB}$
$\Rightarrow HB^2 = 40BD$
$\Rightarrow HB^2 = 40(HB + HD)$
$\Rightarrow HB^2 = 40(HB + HB)$
$\Rightarrow HB^2 = 80HB$
$\Rightarrow HB = 80$

Vậy, BH = 80 cm.

b) Ta có tam giác HAC và tam giác HBD đồng dạng, suy ra tỉ số đồng dạng giữa chúng bằng tỉ số đồng dạng giữa các cạnh tương ứng:
$\frac{AB}{HB} = \frac{AC}{HC} = \frac{AC}{BD}$
$\Rightarrow \frac{30}{80} = \frac{40}{BD}$
$\Rightarrow BD = \frac{40 \times 80}{30}$
$\Rightarrow BD = \frac{3200}{30}$
$\Rightarrow BD = \frac{320}{3}$

Áp dụng định lí đồng dạng tam giác, ta có:
$\frac{AB}{EC} = \frac{AC}{ED}$
$\Rightarrow \frac{30}{EC} = \frac{40}{\frac{320}{3}}$
$\Rightarrow \frac{30}{EC} = \frac{40 \times 3}{320}$
$\Rightarrow \frac{30}{EC} = \frac{120}{320}$
$\Rightarrow \frac{30}{EC} = \frac{3}{8}$
$\Rightarrow EC = \frac{30 \times 8}{3}$
$\Rightarrow EC = 80$

Vậy, AB = 30 cm, AC = 40 cm, EC = 80 cm, và ED = $\frac{320}{3}$ cm.

c) Diện tích tam giác CDE là:
$S_{CDE} = \frac{1}{2} \times EC \times ED$
$= \frac{1}{2} \times 80 \times \frac{320}{3}$
$= \frac{80 \times 320}{6}$
$= \frac{25600}{6}$
$= \frac{12800}{3}$

Vậy, diện tích tam giác CDE là $\frac{12800}{3}$ đơn vị diện tích.