Để chứng minh rằng D = 1 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^58 + 4^59 chia hết cho 21, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ.

Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Trong trường hợp này, chúng ta sẽ chứng minh rằng 4^20 ≡ 1 (mod 21).

Ta có 4^20 = (2^2)^20 = 2^40.

Chia 40 cho 3, ta được 40 = 3 * 13 + 1.

Vậy 2^40 = (2^3)^13 * 2^1 = 8^13 * 2.

Chia 13 cho 3, ta được 13 = 3 * 4 + 1.

Vậy 8^13 = (8^3)^4 * 8^1 = 512^4 * 8.

Chia 4 cho 3, ta được 4 = 3 * 1 + 1.

Vậy 512^4 = (512^3)^1 * 512 = (8^9)^1 * 512.

Chia 9 cho 3, ta được 9 = 3 * 3 + 0.

Vậy 8^9 = (8^3)^3 = 512^3.

Chia 3 cho 3, ta được 3 = 3 * 1 + 0.

Vậy 512^3 = (512^1)^3 = 512^1 = 512.

Vậy 4^20 ≡ 512 (mod 21).

Ta thấy rằng 512 chia hết cho 21, vì 512 = 21 * 24 + 8.

Vậy 4^20 ≡ 1 (mod 21).

Áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có:

D = 1 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^58 + 4^59

= 1 + (4^20)^2 + (4^20)^3 + ... + (4^20)^58 + (4^20)^59

≡ 1 + 1^2 + 1^3 + ... + 1^58 + 1^59 (mod 21)

= 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 (mod 21)

= 59 (mod 21)

= 17 (mod 21).

Vậy D chia hết cho 21.