Để chứng minh rằng cmr m^5n - mn^5 chia hết cho 30 với mọi nguyên m, n, ta sẽ phân tích biểu thức này thành tích của các thừa số nguyên tố.

Biểu thức m^5n - mn^5 có thể viết lại thành m^5n - n^5m, ta có thể nhân thêm m^5n - n^5m để thu được m^10n^2 - n^10m^2.

Biểu thức này có thể phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố như sau:

m^10n^2 - n^10m^2 = (m^5n)^2 - (n^5m)^2 = (m^5n - n^5m)(m^5n + n^5m).

Ta thấy rằng m^5n - n^5m chia hết cho m^5n - n^5m và m^5n + n^5m chia hết cho m^5n - n^5m.

Vì vậy, biểu thức m^5n - n^5m chia hết cho m^5n - n^5m và m^5n + n^5m.

Để chứng minh rằng m^5n - n^5m chia hết cho 30, ta cần chứng minh rằng m^5n - n^5m chia hết cho cả 2 thừa số nguyên tố 2 và 3.

Đầu tiên, ta xét trường hợp m và n chẵn. Khi đó, m^5n - n^5m chia hết cho 2 và 3 vì m^5n và n^5m đều chia hết cho 2 và 3.

Tiếp theo, ta xét trường hợp m và n lẻ. Khi đó, m^5n - n^5m chia hết cho 2 vì m^5n và n^5m đều lẻ. Đồng thời, m^5n - n^5m chia hết cho 3 vì m^5n và n^5m đều chia hết cho 3.

Vậy, ta đã chứng minh rằng m^5n - n^5m chia hết cho cả 2 thừa số nguyên tố 2 và 3.

Do đó, cmr m^5n - n^5m chia hết cho 30 với mọi nguyên m, n.