a. Chứng minh ΔFCH cân:
Ta có ∠FCH = ∠FCA + ∠ACH (1)
Vì OF là tia phân giác của góc A nên ∠FCA = ∠ACH (2)
Từ (1) và (2), ta có ∠FCH = ∠ACH
Do đó, ΔFCH cân.

b. Chứng minh OK = OI:
Ta có ∠OIK = ∠OIF + ∠FIK (3)
Vì ∠OIF = ∠OIH = 90° (4)
Vì FI = AH và ∠FAH = ∠FIH = 90° (5)
Từ (3), (4) và (5), ta có ∠OIK = ∠FIK
Do đó, OK = OI.

c. Chứng minh MI || AC:
Ta có ∠MIF = ∠MFI = ∠HFI = ∠HFA = ∠HCA (6)
Vì ∠HCA = ∠HAC (7)
Từ (6) và (7), ta có ∠MIF = ∠HAC
Do đó, MI || AC.

d. Chứng minh K là trung điểm của DE:
Vì MI || AC và ∠MIF = ∠HAC, ta có ΔMIF ~ ΔHAC (theo góc và cạnh đồng dạng)
Vì FI = AH, ta có MI = AC/2 (theo tỷ lệ đồng dạng)
Vì M là trung điểm của HF, ta có MI = MF
Do đó, K là trung điểm của DE.

e. Chứng minh BD là phân giác của góc ABC:
Ta có ∠BDA = ∠BDF + ∠FDA (8)
Vì ∠BDF = ∠BCF (9)
Vì ∠FDA = ∠FCA (10)
Từ (8), (9) và (10), ta có ∠BDA = ∠BCF + ∠FCA = ∠BCA
Do đó, BD là phân giác của góc ABC.

f. Chứng minh B, O, K thẳng hàng:
Vì ΔFCH cân, ta có ∠FCH = ∠FHC (11)
Vì ΔFHC cân, ta có ∠FHC = ∠FCH (12)
Từ (11) và (12), ta có ∠FCH = ∠FHC
Vì ΔFCH cân, ta có FH là đường trung bình của ΔFCH
Vì K là giao điểm của FH và AI, ta có K là trung điểm của FH
Vì K là trung điểm của FH, ta có OK là đường trung bình của ΔFCH
Do đó, B, O, K thẳng hàng.