Cho tam giác ABC có AB // CD; AB = CD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: OA = OC; OB = OD. M là trung điểm AB. Tia MO cắt CD tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm CD

a. Ta có AB//CD và AB=CD, suy ra tam giác ABC và tam giác CDA là hai tam giác đồng dạng. Do đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác này:
AB/CD = BC/AD = AC/BD
Vì AB=CD, nên ta có BC=AD và AC=BD.
Khi đó, ta có tứ giác ABCD là tứ giác cân, nên ta có OA=OC và OB=OD.

b. Gọi M là trung điểm của AB. Ta cần chứng minh rằng N là trung điểm của CD.
Theo định lí Thales, ta có:
AM/MB = AN/ND = AO/OB
Vì M là trung điểm của AB, nên AM/MB = 1.
Do đó, ta có AN/ND = AO/OB.
Vì AO=OC và OB=OD (theo phần a), nên ta có AN/ND = OC/OD.
Từ đó, suy ra AN/OC = ND/OD.
Vì AN+ND=CD và OC+OD=CD, nên ta có AN/OC = ND/OD = 1/2.
Vậy N là trung điểm của CD.