a. Ta có:
$\angle BAC = \angle BHC$ (cùng nằm trên cung cung cấp)
$\angle ABC = \angle BAC$ (tam giác ABC nội tiếp (O))
$\Rightarrow \angle ABC = \angle BHC$
Tương tự, ta có $\angle BCA = \angle BHC$
Vậy ta có $\angle ABC = \angle BHC$ và $\angle BCA = \angle BHC$
$\Rightarrow BHCK$ là hình bình hành.

b. Ta có:
$\angle BAC = \angle BHC$ (cùng nằm trên cung cung cấp)
$\angle ABC = \angle BAC$ (tam giác ABC nội tiếp (O))
$\Rightarrow \angle ABC = \angle BHC$
$\Rightarrow \angle BAC = \angle BHC = \angle ABC$
$\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle BHC$
$\Rightarrow \frac{AB}{BH} = \frac{AC}{BC}$
$\Rightarrow AB.BC = AC.BH$
$\Rightarrow AB.BC = AC.BH = AD.BK$ (hình bình hành)
$\Rightarrow AD.AK = AB.AC$

c. Ta có:
$\angle BAC = \angle BHC$ (cùng nằm trên cung cung cấp)
$\angle ABC = \angle BAC$ (tam giác ABC nội tiếp (O))
$\Rightarrow \angle ABC = \angle BHC$
$\Rightarrow \angle BAC = \angle BHC = \angle ABC$
$\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle BHC$
$\Rightarrow \frac{AB}{BH} = \frac{AC}{BC}$
$\Rightarrow AB.BC = AC.BH$
$\Rightarrow AB.BC = AC.BH = AD.BK$ (hình bình hành)
$\Rightarrow \frac{AB+BC}{2} = \frac{AB+BC+CK}{2} = \frac{AB+BC+CK+KM}{2}$
$\Rightarrow \frac{BC+CK}{2} = \frac{BC+CK+KM}{2}$
$\Rightarrow CK = KM$
Vậy $BCKM$ là hình thang cân.

d. Ta có:
$ON$ là đường trung trực của $BC$ (đường cao $AD$)
$\Rightarrow ON \perp BC$
$\Rightarrow ON \perp BC$ (đường kính $AK$)
$\Rightarrow AH \perp BC$ (đường kính $AK$)
$\Rightarrow AH \perp ON$
$\Rightarrow AH = 2ON$ (do $ON$ là đường trung trực của $BC$)
Vậy $AH = 2ON$.