Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, do đó AM là đường cao của tam giác ABC và cắt BC thành hai đoạn BM và MC sao cho BM > MC.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, do đó AH cắt BC tại M.

Theo định lí Euclid, ta có: "Trong một tam giác vuông, đường cao chia cạnh huyền thành hai đoạn có tích bằng tích của hai cạnh góc vuông".

Áp dụng định lí Euclid vào tam giác ABC, ta có:
AM * AH = AB * AC.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AB = AC, do đó ta có:
AM * AH = AB * AB.

Suy ra AM = AB.

Khi đó, ta có tam giác ABM cân tại A và BM = AM = AB.

Gọi I là trung điểm của EC và K là trung điểm của BD. Ta có:

IK || BC (do I và K lần lượt là trung điểm của hai cạnh không vuông góc với nhau).

Gọi P, N, O lần lượt là trung điểm của AB, AC, KI. Ta cần chứng minh P, N, O thẳng hàng.

Ta có:

PN || BC (do P và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh không vuông góc với nhau).

Ta cần chứng minh PN || IK.

Áp dụng định lí Thales vào tam giác ABC, ta có:

PN/AB = NO/KI.

Vì AB = AC và KI = EC, ta có:

PN/AC = NO/EC.

Vì EC = 2*IC và AC = 2*NC, ta có:

PN/2*NC = NO/2*IC.

Suy ra PN/NC = NO/IC.

Vì IC = NC (do I là trung điểm của EC), ta có:

PN/NC = NO/NC.

Suy ra PN = NO.

Do đó, ta có PN || BC và PN = NO, nên P, N, O thẳng hàng.