Để tìm số nguyên tố x và y thỏa mãn phương trình x² - 12y² = 1, ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình Pell.

Phương trình Pell có dạng x² - Dy² = 1, trong đó D là một số tự nhiên không phải là số chính phương.

Đầu tiên, ta tìm một cặp số nguyên (x₀, y₀) là nghiệm của phương trình Pell. Trong trường hợp này, ta có thể thấy rằng (x₀, y₀) = (1, 0) là một nghiệm.

Tiếp theo, ta sử dụng công thức đệ quy để tìm các cặp số nguyên (xₙ, yₙ) khác. Công thức đệ quy cho phương trình Pell là:

xₙ = x₀xₙ₋₁ + Dy₀yₙ₋₁
yₙ = x₀yₙ₋₁ + y₀xₙ₋₁

Áp dụng công thức đệ quy, ta có:

x₁ = 1*1 + 12*0 = 1
y₁ = 1*0 + 0*1 = 0

x₂ = 1*1 + 12*0 = 1
y₂ = 1*0 + 0*1 = 0

x₃ = 1*1 + 12*1 = 13
y₃ = 1*0 + 0*1 = 0

x₄ = 1*13 + 12*0 = 13
y₄ = 1*0 + 0*13 = 0

...

Ta thấy rằng dãy số xₙ lặp lại với chu kỳ 1, 1, 13, 13, ... và dãy số yₙ luôn bằng 0.

Vậy, phương trình x² - 12y² = 1 có vô số nghiệm nguyên tố x và y. Các cặp số nguyên tố (x, y) thỏa mãn phương trình là (1, 0), (13, 0), (181, 0), (2521, 0), ...