Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x² + y^2 - xy - x + y + 1, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành tứ diện hoặc sử dụng đạo hàm.

1. Sử dụng phương pháp hoàn thành tứ diện:
Biểu thức A có thể được viết lại thành:
A = (x^2 - x + 1) + (y^2 + y - xy)
= (x^2 - x + 1/4) + (y^2 + y - xy + 1/4) - 1/2
= (x - 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 - xy - 1/2

Vì (x - 1/2)^2 và (y + 1/2)^2 không âm, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là khi xy đạt giá trị nhỏ nhất. Để xy đạt giá trị nhỏ nhất, ta có thể chọn x = 0 và y = 0. Khi đó, A = -1/2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -1/2.

2. Sử dụng đạo hàm:
Đạo hàm riêng của biểu thức A theo x và y lần lượt là:
∂A/∂x = 2x - y - 1
∂A/∂y = 2y - x + 1

Để tìm điểm cực tiểu của biểu thức A, ta giải hệ phương trình ∂A/∂x = 0 và ∂A/∂y = 0:
2x - y - 1 = 0
2y - x + 1 = 0

Giải hệ phương trình trên, ta có x = 1/3 và y = 1/3.

Để kiểm tra xem điểm (1/3, 1/3) là điểm cực tiểu hay không, ta tính đạo hàm riêng cấp 2 của biểu thức A:
∂²A/∂x² = 2
∂²A/∂y² = 2
∂²A/∂x∂y = -1

Đạo hàm riêng cấp 2 này không âm và đạo hàm riêng cấp 2 theo x và y đồng dấu, nên điểm (1/3, 1/3) là điểm cực tiểu của biểu thức A.

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là A(1/3, 1/3) = 1/18.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/18.