Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

a, Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, AH là đường phân giác góc BAC và cắt BC tại H.

Vì đường tròn (I) có đường kính HB nên góc HDB = 90 độ. Mà góc HAB = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A), nên tứ giác AHDB là hình chữ nhật.

Tương tự, tứ giác AHEC cũng là hình chữ nhật.

Vậy tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

b, Ta có tứ giác ADHE là hình chữ nhật, nên AD = HE và AE = DH.

Vì đường tròn (I) có đường kính HB nên góc HDB = 90 độ. Mà góc HAB = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A), nên tứ giác AHDB là hình chữ nhật. Do đó, AD = HB.

Tương tự, tứ giác AHEC cũng là hình chữ nhật, nên AE = HC.

Vậy AD = HB và AE = HC.

Do đó, AD. AB = HB. AB = HC. AC = AE. AC.

c, Ta có AB = 3 cm và BC = 5 cm.

Theo định lý Pythagoras, ta có:

AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 3^2 + 5^2
AC^2 = 9 + 25
AC^2 = 34
AC = √34 cm

Vì tứ giác ADHE là hình chữ nhật, nên AD = HE.

Ta có: AD = HB = 3 cm và AE = HC = √34 cm.

Theo định lý Pythagoras, ta có:

DE^2 = AE^2 - AD^2
DE^2 = (√34)^2 - 3^2
DE^2 = 34 - 9
DE^2 = 25
DE = 5 cm

Vậy DE = 5 cm.

Diện tích tứ giác DEKI là diện tích hình chữ nhật ADHE.

Diện tích hình chữ nhật ADHE = AD x AE = 3 cm x √34 cm = 3√34 cm^2.

Vậy diện tích tứ giác DEKI là 3√34 cm^2.