a) Ta có ∠BHD=∠CHE=90∘ do BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC. Khi đó, ta có thể viết được:

∠BCD=∠HBD+∠HBC
và
∠CBE=∠HCE+∠ECB

Do đó, để chứng minh ∠BCD=∠CBE, ta cần chứng minh rằng ∠HBD=∠HCE và ∠HBC=∠ECB

Ta có ∠HBH=∠HCH=90∘−∠A, vì BD và CE là các đường cao trong tam giác ABC. Do đó,

∠HBD=∠HBH−∠DBH=(90∘−∠A)−∠C
và
∠HCE=∠HCH−∠ECH=(90∘−∠A)−∠B

Từ đó suy ra: ∠HBD=∠HCE, và điều này suy ra ∠BCD=∠CBE

b) Ta lại sử dụng ∠HBH=∠HCH=90∘−∠A. Như vậy,

∠HCB=∠HCE+∠ECB=(90∘−∠A)−∠B+∠C=(90∘−∠B)+∠C−∠A=∠HBC

Vậy tam giác BHC cân tại H.

c) Gọi I là giao điểm của tia phân giác AH với BC.

Ta cần chứng minh rằng ∠BAI=∠IAC. Sử dụng định lí phân giác, ta có:

BI/IC=AB/AC

hay

BI=AB/(AB+AC) ⋅BC

và

CI=AC/(AB+AC)⋅ BC

Do đó,

BI/CI=AB/AC⋅AC/AB=1

Vậy, tia AH là tia phân giác của góc BAC.