Để chứng minh các phương trình trên, ta sử dụng tính chất của lục giác đều và các đường chéo của nó.

a) Ta có lục giác đều ABCDEF có tâm là O. Vì lục giác đều nên các cạnh của nó có cùng độ dài, kí hiệu là a.

Theo định nghĩa, tâm O là trung điểm của các đỉnh, nên ta có:
OA = OB = OC = OD = OE = OF = a.

Vậy OA + OB + OC + OD + OE + OF = a + a + a + a + a + a = 6a.

Tuy nhiên, vì lục giác đều nên tổng các góc trong lục giác là 720 độ, mà mỗi góc trong lục giác đều có giá trị là 120 độ. Vậy tổng các góc trong lục giác đều là 6 * 120 = 720 độ.

Do đó, ta có 6a = 0.

b) Ta có OA = OC = OE = a (vì O là trung điểm của các đỉnh A, C, E).

Vậy OA + OC + OE = a + a + a = 3a.

Tuy nhiên, theo phần a), ta đã chứng minh được 6a = 0, suy ra 3a = 0.

Vậy OA + OC + OE = 0.

c) Ta có lục giác đều ABCDEF có tâm là O. Vì lục giác đều nên các cạnh của nó có cùng độ dài, kí hiệu là a.

Theo định nghĩa, tâm O là trung điểm của các đỉnh, nên ta có:
OA = OB = OC = OD = OE = OF = a.

Vậy AB = 2a (vì AB là đường chéo của lục giác đều).

Vậy ta có:
AB + AO + AF = 2a + a + a = 4a.

Tuy nhiên, theo phần a), ta đã chứng minh được 6a = 0, suy ra 4a = 0.

Vậy AB + AO + AF = 0.

d) Ta có lục giác đều ABCDEF có tâm là O. Vì lục giác đều nên các cạnh của nó có cùng độ dài, kí hiệu là a.

Theo định nghĩa, tâm O là trung điểm của các đỉnh, nên ta có:
OA = OB = OC = OD = OE = OF = a.

Vậy ta có:
MA = MB = MC = MD = ME = MF = a.

Vậy ta có:
MA + MC + ME = a + a + a = 3a.

Tương tự, ta có:
MB + MD + MF = a + a + a = 3a.

Vậy MA + MC + ME = MB + MD + MF.

Vậy các phương trình đã được chứng minh.