Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn đẳng thức:

Giả sử rằng không tồn tại hai số bằng nhau, tức là a, b, c đều khác nhau.

Ta có:
a^2 - b^2/ab + b^2 - c^2/bc + c^2 -a^2/ca = 0
⇔ a^2 - b^2/ab + b^2 - c^2/bc + c^2 -a^2/ca = 0
⇔ (a^2 - b^2)/ab + (b^2 - c^2)/bc + (c^2 - a^2)/ca = 0
⇔ (a^2 - b^2)(bc) + (b^2 - c^2)(ca) + (c^2 - a^2)(ab) = 0
⇔ a^2bc - b^3c + b^2ca - c^3a + c^2ab - a^3b = 0
⇔ abc(a - b) + bca(b - c) + cab(c - a) = 0
⇔ (a - b)(bc(a - b) + ca(b - c) + ab(c - a)) = 0

Vì a, b, c đều khác nhau, nên (a - b), (b - c), (c - a) đều khác 0. Do đó, ta có:
bc(a - b) + ca(b - c) + ab(c - a) = 0

Từ đó suy ra (a - b)(bc(a - b) + ca(b - c) + ab(c - a)) = 0
⇔ (a - b)(0) = 0
⇔ 0 = 0

Điều này là một mâu thuẫn, vì vậy giả định ban đầu là sai. Do đó, phải tồn tại hai số bằng nhau.