Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, I, K lần lượt là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC, ABH, ACH. Kẻ EJ vuông góc IK tại J. Chứng minh rằng A, E, J thẳng hàng

Ta có tam giác ABC vuông tại A, do đó đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Khi đó, ta có AH là đường phân giác của góc BAC.

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta có AM song song với đường phân giác của góc BAC, do đó AM cũng là đường phân giác của góc BAC.

Gọi N là giao điểm của đường phân giác của tam giác ABC và đường phân giác của tam giác ABH. Ta có AN là đường phân giác của góc BAC và ABH, do đó AN song song với BH.

Gọi P là giao điểm của đường phân giác của tam giác ABC và đường phân giác của tam giác ACH. Ta có AP là đường phân giác của góc BAC và ACH, do đó AP song song với CH.

Khi đó, ta có tứ giác ANPM là hình bình hành, do đó MN song song với AP và AN.

Gọi J' là giao điểm của EJ và MN. Ta sẽ chứng minh rằng J' trùng với J.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC, ta có:
$\frac{BI}{IH} \cdot \frac{HK}{KA} \cdot \frac{AE}{EC} = 1$

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABH, ta có:
$\frac{BI}{IH} \cdot \frac{HK}{KA} \cdot \frac{AJ'}{J'E} = 1$

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ACH, ta có:
$\frac{BI}{IH} \cdot \frac{HK}{KA} \cdot \frac{AJ'}{J'E} = 1$

Do đó, ta có:
$\frac{AJ'}{J'E} = \frac{AE}{EC}$

Từ đó, ta suy ra J' trùng với J, tức là A, E, J thẳng hàng.